解题思路：（Ⅰ）取t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0，取t=0，得f（2）≥0，且f（2）≤0，则f（2）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ），列出两式，由余弦函数的值域，求出cosα，cosβ，进而得到函数的解析式；
（Ⅲ）假设存在实数a，符合题意．求出g（x）的表达式，讨论a=0，a≠0，g（1）＞0，考虑零点个数以及零点存在定理的运用，即可得到a的范围．
（Ⅰ）证明：对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2-|t|）≤0恒成立．
取t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0，
取t=0，得f（3-cos0）≥0⇒f（2）≥0，f（1+2-|0|）≤0⇒f（2）≤0，
则f（2）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（2）=-4+12cosα-16cosβ=0⇒4cosβ=3cosα-1①
f（4）=-16+24cosα-16cosβ≥0⇒4cosβ≤6cosα-4②
将①代入②，得cosα≥1，从而cosα=1，cosβ＝
1
2，
故f（x）=-x2+6x-8；
（Ⅲ）假设存在实数a符合题意．由（Ⅱ）知f（x）=-x2+6x-8，
从而g(x)＝ax2−2x−a+
5
2，
1）当a=0时，零点为x＝
5
4，符合要求．
当a≠0时，由于g(1)＝
1
2＞0，
2）若g（x）在x∈[1，4]有两个零点（含相等），则
△＝4−4a(−a+
5
2)≥0
1＜
1
a≤4
g(4)＝15a−
11
2≥0⇒
11
30≤a≤
1
2，
3）若g（x）在x∈[1，4]有一个零点，则
a≠0
g(4)≤0⇒a≤
11
30且a≠0．
综合可知：存在a，且a的范围为：(−∞，
1
2]．
点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题考查函数解析式的求法和函数的零点的判断，考查特值法解决问题的方法和运用函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．