Question

（2010•厦门模拟）已知函数f（x）=sin5x+1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求∫π2−π2f(

Answer 1

解题思路：由sin5x是奇函数，关于原点对称，且积分限关于原点对称，积分就是面积，得到x＜0和x＞0时积分的值一正一负，且面积相等，可得正负抵消，即

∫

π

2

−

π

2

sin⁵xdx=0，根据积分的性质和几何意义可知，

∫

−

π

2

π

2

f(x)dx

=

∫

π

2

−

π

2

（sin⁵x+1）dx=

∫

π

2

−

π

2

（1）dx，求出1的原函数，根据积分的定义即可求出所求式子的结果．

∵sin5x是奇函数，关于原点对称，

且积分限关于原点对称，积分就是面积，

∴x＜0和x＞0时积分的值一正一负，且面积相等，

∴正负抵消，即

∫

π

2−

π

2sin⁵xdx=0，

则

∫−

π

2

π

2f(x)dx=

∫

π

2−

π

2sin⁵xdx+

∫

π

2−

π

2（1）dx=x

|

π

2−

π

2=[π/2]-（-[π/2]）=π．

故选B

点评：

本题考点： 定积分的简单应用；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 考查学生求函数导数的能力，以及掌握定积分的简单运算方法．