解题思路：根据题意所给的两等式可得c（a+b）=2×79，然后经验证可得出c及b的值，从而可得出答案．
由题意得：ab+bc=518，ab-ac=360，
两式相减得：c（a+b）=2×79，
经验证，取c=2，a+b=79，
或c=79，a+b=2，a=b=1代入前两式不成立舍去．
所以c=2，a+b=79带入前两式
ab+2b=518
ab-2a=360
解得：a1=72，b1=7；a2=5，b2=74
a=72，b=7，c=2，abc=1008
a=5，b=74，c=2，abc=740
所以abc最大值为1008故答案为：1008．
点评：
本题考点： 数的整除性．
考点点评： 本题考查数的整除性的知识，难度一般，注意根据题意得出c（a+b）=2×79以及验证得出c的值是本题的关键．