证明：（1）∵CA=CB=1，棱AA 1=2，M、N分别是A 1B 1、A 1A的中点．
∴CA=AN=NA 1=A 1C 1=1，
又由AA 1⊥底面ABC，AA 1⊥底面A 1B 1C 1
∴ ∠ANC=∠ A 1 N C 1 =
π
4 …（1分），
∴ ∠CN C 1 =
π
2 ，
即C 1N⊥NC…（2分），
因为CA⊥CB，BC⊥CC 1，AC∩CC 1=C，
所以BC⊥平面CAA 1C 1…（3分），
又∵C 1N⊂平面CAA 1C 1，
∴BC⊥C 1N…（4分），
因为BC∩NC=C，
所以C 1N⊥平面BCN…（5分）
（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC 1在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（6分），
则C（0，0，0）、C 1（0，0，2）、B 1（0，1，2）…（7分）， M(
1
2 ，
1
2 ，2) 、N（1，0，1）…（8分），
C 1 M =(
1
2 ，
1
2 ，0) 、
C 1 N =(1，0，-1) 、
C B 1 =(0，1，2) …（9分），
设平面C 1MN的一个法向为
n =(a，b，c) ，则
n •
C 1 M =0
n •
C 1 N =0 …（10分），
即
a+b=0
a-c=0 ，取
n =(1，-1，1) …（11分），
所以 sinθ=|cos＜
n ，
C B 1 ＞|=
|
n •
C B 1 |
|
n ||
C B 1 | =
15
15 …（13分）．
（方法二）
A 1 M
A 1 N =
AN
AB =
2
2 ， ∠BAN=∠N A 1 M=
π
2 ， △BAN～△N A 1 M …（6分），
所以∠BNA=∠A 1MN， ∠MNB=
π
2 ，BN⊥MN…（7分），
由（1）知BN⊥C 1N，C 1N∩MN=N，所以BN⊥平面C 1MN…（8分）．
延长B 1B到B 2，延长C 1C到C 2，使BB 2=CC 2=2，连接BC 2、NC 2…（9分），
在△NBC 2中， BN=
3 ， B C 2 =
5 ， N C 2 =
10 …（10分），
cos∠NB C 2 =
B N 2 +B C 2 2 -N C 2 2
2BN×B C 2 …（11分），
= -
15
15
BN是平面C 1MN的法向量，由所作知BC 2∥ B 1C，
从而 θ=∠NB C 2 -
π
2 ，所以 sinθ=-cos∠NB C 2 =
15
15 …（13分）．