Question

已知数列{an}满足a1=1，a3+a7=18，且an-1+an+1=2an（n≥2）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，则

a

5

＝

1

2

(

a

3

+

a

7

)＝9

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，由错位相减法得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，数列{a_n}是等差数列，

设其公差为d，（2分）

则a5＝

1

2(a3+a7)＝9，

所以d＝

a5−a1

4＝2，（4分）a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，

即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．（6分）

（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，

T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，

2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，

相减得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，（9分）

整理得−Tn＝1+2×

2−2n

1−2−(2n−1)•2n＝−(2n−3)•2n−3，

所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．（12分）

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．