Question

已知函数f（x2-1）=logmx22−x2（m＞O且m≠1）

Answer 1

解题思路：（1）令x2-1=t，可得f（t）=logmt+11−t．令t+11−t＞0，求得t的范围，可得f（x）的解析式以及定义域．（2）解关于x的方程即 logmx+11−x=logm1x，可得 −1＜x＜11x＞0x+11−x＝1x．由此求得x的值，即是原方程的解．（3）m＞1，关于x的不等式即 logmx+11−x≥log m（3x+1），根据x+11−x≥3x+1＞0，求得x的范围．

（1）令x²-1=t，求得 x²=t+1＞0，t＞-1，t+1≠2，f（t）=logm

t+1

1−t．

令[t+1/1−t]＞0，求得-1＜t＜1，

∴f（x）=logm

x+1

1−x，（-1＜x＜1）．

（2）解关于x的方程f（x）=log_m[1/x]，即 logm

x+1

1−x=log_m[1/x]，

∴

−1＜x＜1

1

x＞0

x+1

1−x＝

1

x．

解得x=-1+

2，即是原方程的解．

（3）m＞1，关于x的不等式f（x）≥log_m（3x+1），即 logm

x+1

1−x≥log_m（3x+1），

∴[x+1/1−x]≥3x+1＞0，即

3x+1＞0

3x

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．