Question

如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC，AA1，AB的中点

Answer 1

解题思路：①欲证B₁C₁∥平面EFG，只需在平面EFG内找一直线与B₁C₁平行，E，F为△AB，AC中点，则GE∥BC，从而B₁C₁∥GE，而GE⊂平面GEF，B₁C₁⊄平面GEF，满足线面平行的判定定理所需条件；

②取A₁C₁的中点M，连接MF，GM，根据中位线可知AC₁∥MF，则∠MFG为FG与AC₁所成的角，然后在三角形MGF中求出此角即可；

③C₁与B₁到平面EFG的距离相等则

V

B

1

−EFG＝

V

C

1

−EFG＝

V

G

−

C

1

EF

，然后根据GE⊥平面C₁EF可知GE为高，最后根据锥体的体积公式解之即可．

①E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．

∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，

∵GE⊂平面GEF，B₁C₁⊄平面GEF，

∴B₁C₁∥平面EFG

②取A₁C₁的中点M，连接MF，GM，

根据中位线可知AC₁∥MF

∴∠MFG为FG与AC₁所成的角

∵MF=

2，GF=

3，MG=

5

∴∠MFG=90°

∴FG与AC₁所成的角为90°．

③∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁与B₁到平面EFG的距离相等．

∴VB1−EFG＝VC1−EFG＝VG−C1EF

∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁

∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁

∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF

∵GE＝

1

2BC＝1，SC1EF＝2×2−

1

2(1×2+1×1+1×2)＝

3

2

∴VB1−EFG＝

1

3×

3

2＝

1

2

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题主要考查了线面平行的判定，以及异面直线所成角和体积的度量，属于中档题．