Question

已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[[1/2]an•（S4m+1）]=9，则[1/n+

Answer 1

解题思路：根据等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，可得a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，由log₃[[1/2]a_n•（S_4m+1）]=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

∵等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，

∴a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，

∵log₃[[1/2]a_n•（S_4m+1）]=9，

∴（n-1）+4m=9，

∴n+4m=10，

∴[1/n+

4

m]=[1/10]（n+4m）（[1/n+

4

m]）=[1/10]（17+[4n/m+

4m

n]）≥[1/10]（17+8）=2.5

当且仅当m=n=2时取等号，

∴[1/n+

4

m]的最小值是2.5．

故答案为：2.5．

点评：

本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键．