(1)(2)见解析(3)
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
又∵∠CBD=∠BA,
∴∠ABC+∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD为⊙O的切线;
(2)证明:连CE、OC,BE,如图,
∵OE=ED,∠OBD=90°,
∴BE=OE=ED,
∴△OBE为等边三角形,
∴∠BOE=60°,
又∵AC∥OD,
∴∠OAC=60°,
又∵OA=OC,
∴AC=OA=OE,
∴AC∥OE且AC=OE,
∴四边形OACE是平行四边形,
而OA=OE,
∴四边形OACE是菱形;
(3)∵CF⊥AB,
∴∠AFC=∠OBD=90°,
而AC∥OD,
∴∠CAF=∠DOB,
∴Rt△AFC∽Rt△OBD,
∴
,即
,
又∵FG∥BD,
∴△AFG∽△ABD,
∴
,即
,
∴
,
∴
.
(1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线;
(2)连CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形;
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而AC∥OD,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有
,即
,再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD,则
,即
,然后求FC与FG的比即可一个定值.