如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.

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  • (1)(2)见解析(3)

    (1)证明:∵AB是⊙O的直径,

    ∴∠BCA=90°,

    ∴∠ABC+∠BAC=90°,

    又∵∠CBD=∠BA,

    ∴∠ABC+∠CBD=90°,

    ∴∠ABD=90°,

    ∴OB⊥BD,

    ∴BD为⊙O的切线;

    (2)证明:连CE、OC,BE,如图,

    ∵OE=ED,∠OBD=90°,

    ∴BE=OE=ED,

    ∴△OBE为等边三角形,

    ∴∠BOE=60°,

    又∵AC∥OD,

    ∴∠OAC=60°,

    又∵OA=OC,

    ∴AC=OA=OE,

    ∴AC∥OE且AC=OE,

    ∴四边形OACE是平行四边形,

    而OA=OE,

    ∴四边形OACE是菱形;

    (3)∵CF⊥AB,

    ∴∠AFC=∠OBD=90°,

    而AC∥OD,

    ∴∠CAF=∠DOB,

    ∴Rt△AFC∽Rt△OBD,

    ,即

    又∵FG∥BD,

    ∴△AFG∽△ABD,

    ,即

    (1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线;

    (2)连CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形;

    (3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而AC∥OD,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有

    ,即

    ,再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD,则

    ,即

    ,然后求FC与FG的比即可一个定值.