设x=a+bi,y=c+di （a,b,c,d是整数）,则x+y=a+c+(b+d)i属于Z[i]
0属于Z[i],且x+0=0+x=x
对任意x=a+bi属于Z[i],有-a-bi属于Z[i],且x+(-a-bi)=0
Z[i]是复数域的子集,由复数域上加法的结合律以及上述的第一点（z[i]对加法的封闭性）得到z[i]上加法啊结合律
综上四点,z[i]是群
5.x+y=a+c+(b+d)i=c+a=(d+b)i=y+x,所以z[i]上的加法可交换
6.xy=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i属于z[i]
7.同上述第四点,可知z[i]上的乘法满足结合律和交换律
8.1属于z[i],1x=x1=x
综上,Z[i]={a+bi|a.Z} 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.