已知两点M（0，0），N（−125，−65），给出 - 知识问答

已知两点M（0，0），N（−125，−65），给出下列曲线方程：

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解题思路：求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得|MP|=|NP|．
由M（0，0），N（−
12
5，−
6
5），
得k＝
−
6
5
−
12
5=[1/2]，M，N中点坐标为（−
6
5，−
3
5）．
∴MN的垂直平分线方程为y+[3/5]=-2（x+[6/5]），
即2x+y+3=0．
①∵直线2x+y+3=0与直线4x+2y-1=0平行，
∴直线4x+2y-1=0上不存在点P，使|MP|=|NP|；
②联立
2x+y+3＝0
x2+y2＝3，得
5x²+12x+6=0，
△=12²-4×5×6=24＞0．
∴直线y=-2x-3与x²+y²=3有交点，
∴曲线x²+y²=3上存在点P满足|MP|=|NP|；
③联立
2x+y+3＝0
x2
2+y2＝1，得
9x²+24x+16=0，
△=24²-4×9×16=0．
∴直线y=-2x-3与
x2
2+y2=1有交点，
∴曲线
x2
2+y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|；
④联立
2x+y+3＝0
x2
2−y2＝1，
得7x²+24x+20=0，
△=24²-4×7×20=16＞0．
∴直线y=-2x-3与
x2
2−y2=1有交点，
∴曲线
x2
2−y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|．
故答案为：②③④．
点评：
本题考点：两点间距离公式的应用．
考点点评：本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．

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