解题思路：（1）设logax=t，利用换元法求出
f(x)＝
a
a
2
−1
(
a
x
−
a
−x
)
，利用函数的单调性的定义，证明，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，然后判断函数的奇偶性，f（x）是奇函数，转化f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1）为1-m＜m2-1即m2+m-2＞0求解即可．
（2）利用（1）转化f（2）-4≤0为
a
a
2
−1
(
a
2
−
a
−2
)≤4
．求解即可．
（本题12分）解；（1）设logax=t，则x=at，所以f(logax)＝f(t)＝
a
a2−1(at−a−t)
故f(x)＝
a
a2−1(ax−a−x)当a＞1时，a2-1＞0，设g（x）=ax-a-x，
设x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，
因为g(x1)−g(x2)＝(ax1−a−x1)−(ax2−a−x2)＝(ax1−ax2)+(
1
ax2−
1
ax1)=(ax1−ax2)(1+
1
ax1+x2)
因为，x1＜x2且a＞1，故ax1＜ax2，所以g(
x 1)＜g(x2)
所以，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，a2-1＜0，同理可证f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
又f(−x)＝
a
a2−1(a−x−ax)＝−f(x)，所以f（x）是奇函数
由f（1-m）+f（1-m2）＜0得f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1）
因为f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，所以1-m＜m2-1即m2+m-2＞0解得m＜-2或m＞1
（2）由上，f（2）-4≤0即
a
a2−1(a2−a−2)≤4．解得2−
3≤a≤2+
3
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质．
考点点评： 本题考查函数的恒成立，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．