Question

x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0),F1,F2分别为椭圆上的左右焦点,A为椭圆上的上顶点,直线AF2交椭圆

Answer 1

1) 因为∠F1AB=90°,所以,|AF1|^2+|AF2|^2=|F1F2|^2,

即 2a^2=(2c)^2,所以,e=c/a=√2/2.

2) A(0,b),F2(c,0),F1(-c,0),设B(x,y),

则 AF2=(c,-b),F2B=(x-c,y),

由AF2=2F2B得 c=2(x-c),-b=2y,

所以B(3c/2,-b/2)

代入椭圆方程可得 9c^2/(4a^2)+b^2/(4b^2)=1 （1）

又AF1*AB=(-c,-b)*(3c/2,-3b/2)=-3c^2/2+3b^2/2=3/2 (2)

所以,由（1）（2）及 a^2=b^2+c^2可解得 a^2=3,b^2=2,c^2=1,

因此,椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1.