Question

三角形图形,P为三角形ABC中一点,PA=AB,PC=PB,∠ABC=2∠ACB,求证3∠CAP=∠CAB

Answer 1

作点D满足AD=AB,PD=PB,即B点关于AP的对称点,连接AD,PD,CD

易得BP=CP=DP,故BCD共圆P,于是∠BCD=1/2∠BPD=∠BPA=∠ABP

由于∠BCD=∠BCA+∠DCA, ∠ABP=∠ABC-∠PBC=2∠BCA-∠PCB

这样∠BCA+∠DCA=2∠BCA-∠PCB,从而∠DCA=∠ACP

已知AD=AP,AC=AC,一定有∠APC=∠ADC或者∠APC+∠ADC=180°(正弦定理sin∠APC=sin∠ADC)

∠APC+∠ADC=180°时,如右图所示,由于∠ADC>∠ADP=∠ABP=∠APB,因此∠APC+∠APB<180°,与P在ABC中矛盾.

故∠APC=∠ADC时,如左图所示,有∠CAP=∠CAD=1/2∠BAP,从而3∠CAP=∠CAB