Question

已知二次型f(x1,x2,x3)=2(x1)^2+a(x2)^2+2x2x3经过正交变换（x1 x2 x3）=P（y1

Answer 1

解: 二次型f的矩阵 A=

2 0 0

0 a 1

0 1 0

相似于对角矩阵 B=diag(1,b,-1).

所以 tr(A)=2+a=tr(B)=b, 且 |A|=-2=|B|=-b

得 a=0, b=2.

所以 A=

2 0 0

0 0 1

0 1 0

且A的特征值为1,2,-1.

(A-E)X的基础解系为 a1=(0,1,1)^T

(A-2E)X的基础解系为 a2=(1,0,0)^T

(A+E)X的基础解系为 a3=(0,1,-1)^T

单位化得

a1=(0,1/√2,1/√2)^T

a3=(1,0,0)^T

a1=(0,1/√2,-1/√2)^T

令P=(a1,a2,a3), 则P为所求的正交矩阵.