Question

（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；

（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=[π/4]，可得b=-2p-2mp，即可得出结论．

（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，

∴直线x=2p与抛物线y²=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，-2p），

∴三角形ABO是Rt△，

∴过A，B，O三点的圆方程是：（x-2p）²+y²=4p²；

（Ⅱ）设点A(

y21

2p，y1)，B(

y22

2p，y2)，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，

由方程组

x＝my+b

y2＝2px消去x可得y²-2mpy-2pb=0，

故y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-2pb，

这样，tan[π/4]=tan(α+β)＝

tanα+tanβ

1−tanαtanβ＝

y1

x1+

y2

x2

1−

y1y2

x1x2＝

x2y1+x1y2

x1x2−y1y2=

2p(y1+y2)

y1y2−4p2

即1=[2p•2mp

−2pb−4p2＝−

2mp/b+2p]，所以b=-2p-2mp，

∴直线AB的方程可以写成为：x=my-2p-2mp，即x+2p=m（y-2p），

∴直线AB过定点（-2p，2p）．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．