|F1B|+|F2B|=2a =2, |F1A|+|F2A|=2a=2
所以|AF2|+|AB|+|BF2|=|F1B|+|F2B|+|F1A|+|F2A|=4a=4
依题目的2|AB|=|AF2|+|BF2|
所以|AB|=4/3
设l:y=x+c ,A(x1,y1) B(x2,y2)
与:(X^2)+(Y^2/b^2)=1联立得（1+b^2)x^2+2cx+(c^2-b^2)=0
所以x1+x2=-(2c)/ (1+b^2) x1x2=(c^2-b^2)/(1+b^2)
所以|AB|=√(1+k^2) |x1-x2|=√2 √(x1+x2)^2-4x1x2=4b^2/(1+b^2)
又因为|AB|=4/3,则有4b^2/(1+b^2)=4/3
3b^2=1+b^2
b^2=1/2
b=根号2/2.