Question

在等比数列{an}中,an>0,且a1a5+2a3a5+a2a8=25

Answer 1

a1a5+2a3a5+a2a8=25

(a3)^2+2a3a5+(a5)^2=25

(a3+a5)^2=25

a3+a5=5

已知a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5的等比中项,an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1)

则4=a3*a5且(a1a5+2a3a5+a2a8)/a3*a5=25/4

整理得到(4q^2-1)(q^2-4)=0

得到q=1/2

a3*a5=a1^2*q^6=4

a1=16

则通项式an=16*(1/2)^(n-1)

an=16*2^(1-n)

=2^(5-n)

前n项和Sn=n(9-n)/2

Sn/n=(9-n)/2

S1/1=4

S(n-1)/(n-1)=[9-(n-1)]/2=(19-n)/2

Sn/n-S(n-1)/(n-1)=(9-n)/2-(19-n)/2

=9/2-n/2-19/2+n/2

=-5

所以Sn/n是等差数列

S1/1+S2/2+.+Sn/n

=[4+(9-n)/2]*n/2

=(-n^2+17n)/4

这是个抛物线的离散型

得到靠近对称轴的两个值n=8,9

依次代入得到n=8,9时候的数值都是18

所以满足最大值的时候的n的数值是8或者9