已知圆O:x2+y2=m(m>0)与抛物线y2=ax(a>0)相交于A(1,1),B(1,-1)两点.

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  • 解题思路:(1)根据A(1,1)在圆O:x2+y2=m上,可求圆O的半径;A(1,1)代入抛物线y2=ax,可得a=1,从而可求抛物线的焦点坐标及准线方程;

    (2)设P(m,n),由四边形ODEC为等腰梯形,可得kOC=kPB=[n+1/m−1],从而可得OC的方程为y=-[n+1/m−1]x,代入圆的方程,求出C的坐标,利用P,A,C三点共线,即可得出结论.

    (1)∵A(1,1)在圆O:x2+y2=m上,

    ∴圆O的半径为

    2,

    A(1,1)代入抛物线y2=ax,可得a=1,

    ∴抛物线的方程为y2=x,

    ∴抛物线的焦点坐标(

    1

    4,0),准线方程:x=−

    1

    4;

    (2)设P(m,n),则

    ∵四边形ODEC为等腰梯形,

    ∴kOC=kPB=[n+1/m−1],

    ∴OC的方程为y=-[n+1/m−1]x,

    代入x2+y2=2,可得x=-

    2

    1+(

    n+1

    m−1)2,y=[n+1/m−1]•

    2

    1+(

    n+1

    m−1)2,

    ∵P,A,C三点共线,

    n−1

    m−1=

    n+1

    m−1•

    2

    1+(

    n+1

    m−1)2−1

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查圆的方程、抛物线的方程与性质,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于难题.