Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0）和B（4，0），与y轴相交于点C（0，-2）．

Answer 1

解题思路：（1）根据y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），B（4，0）和点C（0，-2）三点，列出三元一次方程组，解出a、b和c即可；

（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0），根据AD∥BC，两直线斜率相等，列式求出D点的坐标，再证明出△ABC是直角三角形，然后分类讨论：①当∠E是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标，②当∠D是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标．

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2），

∴

a−b+c＝0

16a+4b+c＝0

c＝−2，

解得：

a＝

1

2

b＝−

3

2

c＝−2，

∴抛物线的解析式为y=[1/2]x²-[3/2]x-2；

（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）

∵AD∥CB，

∴两直线的斜率相等，

∴k_AD=k_BC，

∴[y+1/x]=

0−(−2)

4−0=[1/2]，

∴y+1=[1/2]x，

又∵点D在抛物线上，

∴y=[1/2]x²-[3/2]x-2，

联立两式解得D点的坐标为（5，3），

连接AC，AC=

5，BC=2

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数、三角形相似、平行线的性质、直线斜率等知识点，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（2）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．