解题思路：（1）由抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-[1/2]t2+[5/2]t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；
（3）首先设P（m，-[1/2] m2+[5/2]m-2），由于PM⊥x轴，FN是对称轴，可得PM∥FN，当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形，从而求出m的值为[3/2]，根据题意可知求得P点的关于二次函数的对称轴的对称点P′，正好与A点重合，所以只能构成等腰三角形，构不成等腰梯形．
（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx-2，
得
16a+4b−2＝0
a+b＝0，
解得：
a＝−
1
2
b＝
5
2．
∴该抛物线的解析式为y=-[1/2]x2+[5/2]x-2．
（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-[1/2]t2+[5/2]t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则
n＝−2
4m+n＝0
解得：
m＝
1
2
n＝−2，
由题意可求得直线AC的解析式为y=[1/2]x-2．
∴E点的坐标为（t，[1/2]t-2）．
∴DE=-[1/2]t2+[5/2]t-2-（[1/2]t-2）=-[1/2] t2+2t．
∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=[1/2]×DE×OA=[1/2]×（-[1/2]t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
∴当t=2时，S最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．
（3）存在．∵y=-[1/2]x2+[5/2]x-2=-[1/2]（x-[5/2]）2+[9/8]．
∴F（[5/2]，[9/8]）
①Ⅰ当P和F重合时，P、M、N、F成一条直线，不能构成梯形，此时m=[5/2]．
Ⅱ如图2，设P（m，-[1/2]m2+[5/2]m-2）（0＜m＜[5/2]）．作PM⊥x轴，FN是对称轴，
∴PM∥FN
∴当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形．
由于N（[5/2]，-[3/4]），M（m，[1/2]m-2）
∴PM（-[1/2]m2+[5/2]m-2）-（[1/2]m-2）=-[1/2]m2+2m，
FN=[9/8]-（-[3/4]）=[15/8]
当PM=FN时
即：-[1/2]m2+2m=[15/8]，解得m=[3/2]，m=[5/2]（舍去）
∴当m=[3/2]，m=[5/2]时过P、M、N、F的平面图形不是梯形．
（3）四边形PMNF可能是等腰梯形．
过抛物线上的点P′垂直于x轴的直线交AC于M′，
由于m=[3/2]时，四边形PMNF是平行四边形，所以PF=MN，
根据抛物线的对称性，当m=[7/2]时，有P′F=M′N，此时梯形P′FNM′是等腰梯形．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用