Question

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA= 3 5 c，则tan（A-B）的最大值是_

Answer 1

∵a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∴2RsinAcosB-2RsinBcosA=

3

5 2RsinC，

即sinAcosB-sinBcosA=

3

5 sinC，①

∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，②

将②代入①中，整理得sinAcosB=4cosAsinB，

∴

sinA

cosA =4•

sinB

cosB ，

即tanA=4tanB；

∵tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB =

3tanB

1+4 tan 2 B =

3

1

tanB +4tanB ≤

3

2

4 =

3

4 ，

∴tan（A-B）的最大值为

3

4 ，

故答案为

3

4 ．