Question

如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆

Answer 1

（1）（x-

） ²+(y-2) ²=

+

=1（2）见解析

(1)解:设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2),

因为|MN|=3,

所以r ²=（

） ²+2 ²=

,r=

,

故圆C的方程是（x-

） ²+(y-2) ²=

①

在①中,令y=0解得x=1或x=4,

所以N(1,0),M(4,0).

由

得c=1,a=2,

故b ²=3.

所以椭圆D的方程为

+

=1.

(2)证明:设直线l的方程为y=k(x-4).

由

得(3+4k ²)x ²-32k ²x+64k ²-12=0 ②

设A(x ₁,y ₁),B(x ₂,y ₂),

则x ₁+x ₂=

,x ₁x ₂=

.

当x ₁≠1,x ₂≠1时,

k _AN+k _BN=

+

=

+

=k·

=

·[2x ₁x ₂-5(x ₁+x ₂)+8]

=

·

=0.

所以k _AN=-k _BN,

当x ₁=1或x ₂=1时,k=±

,

此时,对方程②,Δ=0,不合题意.

所以直线AN与直线BN的倾斜角互补.