已知:A1=1 ,A(n+1) = 1/An + An.求lim An/n 其中n→∞

3个回答

  • 这个数列An是趋向于正无穷的.理由如下:

    首先An都是大于1的.再由A(n+1)-An=1/An>0可知,数列是单调增的.若An有上界,则An必有极限,不妨设其极限为a, 递归公式两边取极限得

    a=1/a+a,于是1/a=0.这是不可能.所以An没有上界,且递增,所以An趋向于正无穷.

    再由stone定理可知

    lim(n-->∞)An/n=lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[n+1-n]=lim(n-->∞)1/An=0.

    数列形式的stone定理:

    当n-->∞时,An-->+∞,Bn-->+∞,lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[B(n+1)-Bn]存在,则必有

    lim(n-->∞)An/Bn=lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[B(n+1)-Bn].