设函数f(x)=[1/3]x3-mx2+(m2-4)x,x∈R.已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,α,β,且α<β

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  • 解题思路:本题利用导数来研究恒成立问题.先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,利用单调性结合函数的图象研究函数f(x)的零点分布问题,最后转化为一个一元二次方程的根的分布问题.

    f′(x)=x2-2mx+(m2-4),令f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2.

    当x∈(-∞,m-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数;

    当x∈(m-2,m+2)时,f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数;

    当x∈(m+2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.

    因为函数f(x)有三个互不相同的零点0,α,β,且f(x)=[1/3]x[x2-3mx+3(m2-4)],

    所以

    (3m)2−12(m2−4)>0

    3(m2−4)≠0

    解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).

    当m∈(-4,-2)时,m-2<m+2<0,所以α<m-2<β<m+2<0.

    此时f(α)=0,f(1)>f(0)=0,与题意不合,故舍去;

    当m∈(-2,2)时,m-2<0<m+2,所以α<m-2<0<m+2<β.

    因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.

    所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

    因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1;

    当m∈(2,4)时,0<m-2<m+2,所以0<α<m-2<m+2<β.

    因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.

    所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

    因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,

    所以m+2=1,即m=-1(舍去).

    综上可知,m的取值范围是{-1}.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想.属于基础题.