已知△ABC中∠ACB=90°,AS=BC=1,AC=2,SA⊥面ABC,AD⊥SC于D.

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  • 解题思路:(1)由SA⊥面ABC,得到SA⊥BC,结合BC⊥AC和线面垂直的判定定理,得到BC⊥面SAC,从而有BC⊥AD,再结合SC⊥AD,即可得到AD⊥面SBC.(2)过D作DE⊥BS交BS于E,连接AE.用线面垂直的判定与性质,可证出∠AED为二面角A-SB-C的平面角,在Rt△ACS中算出AD的长,Rt△SAB中算出AE的长,最后在Rt△ADE中,利用三角函数在直角三角形的定义,得到∠AED的正弦值,即可得到二面角A-SB-C的大小.

    (1)∵SA⊥面ABC,BC⊆面ABC,∴SA⊥BC

    又∵∠ACB=90°,即BC⊥AC,且AC∩SA=A,

    ∴BC⊥面SAC

    ∵AD⊂平面SAC,∴BC⊥AD

    又∵SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥面SBC

    (2)过D作DE⊥BS交BS于E,连接AE,

    ∵AD⊥面SBC,SB⊆面SBC,∴AD⊥SB

    ∵DE⊥BS,AD、DE是平面ADE内的相交直线

    ∴SB⊥面ADE,可得AE⊥AB

    因此,∠AED为二面角A-SB-C的平面角,

    由AS=BC=1,AC=2,得Rt△ACS中,AD=

    AS.AC

    SC=

    2

    5

    5,

    Rt△SAB中,AB=

    12+22 =

    5,可得AE=

    AB.AS

    BS=

    30

    6

    ∴Rt△ADE中,sin∠AED=

    AD

    AE=

    2

    6

    5,

    由此可得:二面角A-SB-C的大小为arcsin

    2

    6

    5

    点评:

    本题考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

    考点点评: 本题给出底面是直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥,求证线面垂直并且求二面角的大小,着重考查了线面垂直的判定与性质和二面角平面角的作法等知识,属于中档题.