(2010•成都一模)在数列{an}中,a1=-13,n∈N*,当n≥2时,有3an-2an-1+n+2=0,设bn=a

1个回答

  • 解题思路:(I)由bn=an+n+1及3an-2an-1+n+2=0把n=1,2分别代入可求

    (II)由3an-2an-1+n+2=0得,3(an+n)=2(an-1+n-1),

    a

    n

    +n

    a

    n-1

    +n-1

    =

    2

    3

    ,即

    b

    n

    -1

    b

    n-1

    -1

    =

    2

    3

    ,从而可证

    (III)由(I)可得

    b

    n

    =

    2

    3

    b

    n-1

    +

    1

    3

    从而可求

    b

    n

    =1+(

    2

    3

    )

    n

    ,则

    c

    n

    =

    (

    2

    3

    )

    n

    2

    b

    2

    n

    +

    b

    n

    =

    b

    n

    -

    b

    n+1

    b

    n

    b

    n+1

    =

    1

    b

    n+1

    -

    1

    b

    n

    ,从而可利用裂项求和.

    (I)∵a1=-

    1

    3,bn=an+n+1∴b1=a1+2=

    5

    3

    当n=2时,3a2-2a1+4=0可得a2=-

    14

    9

    ∴b2=3+a2=

    13

    9

    (II)由3an-2an-1+n+2=0得,3(an+n)=2(an-1+n-1)

    an+n

    an-1+n-1=

    2

    3,n≥2即

    bn-1

    bn-1-1=

    2

    3

    ∵b1- 1=

    2

    3≠0

    ∴{bn-1}是以

    2

    3为首项,

    2

    3为公比的等比数列

    (III)由(I)可得bn=

    2

    3bn-1+

    1

    3

    ∴2bn-1+1=3bn,所以bn=1+(

    2

    3)n

    cn=

    (

    2

    3)n

    2

    b2n+bn=

    (

    2

    3)n

    (2bn+1)bn=

    bn-bn+1

    bnbn+1=

    1

    bn+1-

    1

    bn

    点评:

    本题考点: 数列递推式;数列的求和.

    考点点评: 本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式,而定义法是证明数列为等比(等差)数列的常见方法,裂项求和是数列求和的重要方法,要注意掌握.