解题思路:(I)由bn=an+n+1及3an-2an-1+n+2=0把n=1,2分别代入可求
(II)由3an-2an-1+n+2=0得,3(an+n)=2(an-1+n-1),
a
n
+n
a
n-1
+n-1
=
2
3
,即
b
n
-1
b
n-1
-1
=
2
3
,从而可证
(III)由(I)可得
b
n
=
2
3
b
n-1
+
1
3
从而可求
b
n
=1+(
2
3
)
n
,则
c
n
=
(
2
3
)
n
2
b
2
n
+
b
n
=
b
n
-
b
n+1
b
n
b
n+1
=
1
b
n+1
-
1
b
n
,从而可利用裂项求和.
(I)∵a1=-
1
3,bn=an+n+1∴b1=a1+2=
5
3
当n=2时,3a2-2a1+4=0可得a2=-
14
9
∴b2=3+a2=
13
9
(II)由3an-2an-1+n+2=0得,3(an+n)=2(an-1+n-1)
an+n
an-1+n-1=
2
3,n≥2即
bn-1
bn-1-1=
2
3
∵b1- 1=
2
3≠0
∴{bn-1}是以
2
3为首项,
2
3为公比的等比数列
(III)由(I)可得bn=
2
3bn-1+
1
3
∴2bn-1+1=3bn,所以bn=1+(
2
3)n
cn=
(
2
3)n
2
b2n+bn=
(
2
3)n
(2bn+1)bn=
bn-bn+1
bnbn+1=
1
bn+1-
1
bn
点评:
本题考点: 数列递推式;数列的求和.
考点点评: 本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式,而定义法是证明数列为等比(等差)数列的常见方法,裂项求和是数列求和的重要方法,要注意掌握.