Question

证明：当x＞0时，ln（1+x）＜x-[1/2]x2+[1/3]x3．

Answer 1

解题思路：令F（x）=ln（1+x）-（x-12x2+13x3），则F（0）=0，故仅需证明F（x）在（0，+∞）上单调减即可；本题也可以利用泰勒公式进行证明．

【解法1】利用函数单调性进行证明．

令F（x）=ln（1+x）-（x-[1/2x2+

1

3x3），则F（x）在[0，+∞）上连续可导．

因为F′（x）=

1

1+x]-（1-x+x²）=

1−(1+x3)

1+x=-

x3

1+x＜0，

所以F（x）在（0，+∞）上严格单调递减，

从而当x＞0时，F（x）＜F（0），即：

ln（1+x）＜x-

1

2x2+

1

3x3．

【解法2】利用泰勒公式进行证明．

对于任意x＞0，利用泰勒公式可得，∃ξ∈（0，x），使得

ln（1+x）=x-

1

2x2+

1

3x3-

1

4ξ4，

从而，ln（1+x）＜x-

1

2x2+

1

3x3．

点评：

本题考点： 利用单调性证明函数不等式；利用泰勒公式进行证明．

考点点评： 本题考查了函数单调性的判断、利用函数单调性证明不等式以及利用泰勒公式证明不等式的方法；题目具有一定的综合性，难度系数适中．