Question

三角形ABC,D是BC中点,E、F分别在AC、AB上,角ABE=角ACF,BE、CF交点为O,OP垂直AC,OQ垂直AB

Answer 1

分别取BO,CO中点MN,联结QM,DM,PN,DN

因为D,N分别是BC,OC中点

所以DN是△BCO的中位线,DN=BO/2

在Rt△BOQ中,∠BQO=90°,M是BO中点

所以QM=BO/2

所以QM=DN

同理,EN=OC/2=DM

因为BM=QM=BO/2

所以∠QBM=∠BQM

所以∠QMO=∠QBM+∠BQM=2∠QBM

同理,∠PNO=2∠PCN

因为∠ABE=∠ACF,即∠QBM=∠PCN

所以∠QMO=∠PNO

因为DM,DN都是△BCO的中位线

所以DM‖OC,DN‖OB

所以∠OMD=∠EON=∠OND

所以∠QMO+∠OMD=∠PNO+∠OND,即∠QMD=∠PND

因为QM=DN,∠QMD=∠PND,DM=PN

所以△QMD≌△DNP

所以DP=DQ