Question

x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a-a2）4X的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

解题思路：x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，可转化成f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，然后将a分离出来，在利用二次函数在给定区间上求出不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围．

∵x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，

∴f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，

即a²-a＜

1+2x

4x=[(

1

2)x]2+(

1

2)x在（-∞，1]上恒成立，

令g（x）=[(

1

2)x]2+(

1

2)x，x∈（-∞，1]，

再令t=(

1

2)x，则t≥[1/2]，g（x）=t²+t≥[3/4]，

∴a²-a＜[3/4]，解得-[1/2]＜a＜[3/2]，

∴实数a的取值范围是-[1/2]＜a＜[3/2]．

故选D．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及函数恒成立问题，常常利用参变量分离的方法，同时考查了转化的思想，属于中档题．