已知ab是偶数,求证:可以找到两个整数c,d使得a^2+b^2+c^2=d^2.

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  • 一个整数能表示为两个完全平方数之差的充要条件是其除以4的余数不等于2.

    由ab为偶数, a, b为两个偶数或一奇一偶, 从而a²+b²被4整除或除以4余1.

    因此存在整数c, d使a²+b²+c² = d².

    也可以具体构造如下:

    1) 当a, b均为偶数, 取d = (a²+b²)/4+1, c = (a²+b²)/4-1,

    则c, d均为整数, 且d²-c² = a²+b².

    2) 当a, b一奇一偶, 取d = (a²+b²+1)/2, c = (a²+b²-1)/2,

    则c, d均为整数, 且d²-c² = a²+b².