Question

设f（x）=ax 2 +bx+c，若f（1）= 7 2 ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x 2 + 1 2 ≤f（

Answer 1

由f（1）=

7

2 ，得a+b+c=

7

2 ．令x ²+

1

2 =2x ²+2x+

3

2 ⇒x=-1．

由f（x）≤2x ²+2x+

3

2 推得f（-1）≤

3

2 ，

由f（x）≥x ²+

1

2 推得f（-1）≥

3

2 ，

∴f（-1）=

3

2 ．

∴a-b+c=

3

2 ．故a+c=

5

2 且b=1．

∴f（x）=ax ²+x+

5

2 -a．

依题意ax ²+x+

5

2 -a≥x ²+

1

2 对一切x∈R都成立，

∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．

由a-1＞0得a=

3

2 ．

∴f（x）=

3

2 x ²+x+1．

证明如下：

3

2 x ²+x+1-2x ²-2x-

3

2 =-

1

2 x ²-x-

1

2 =-

1

2 （x+1） ²≤0．

∴

3

2 x ²+x+1≤2x ²+2x+

3

2 对x∈R都成立．

∴存在实数a=

3

2 ，b=1，c=1，

使得不等式x ²+

1

2 ≤f（x）≤2x ²+2x+

3

2 对一切x∈R都成立．