解题思路：三个分数都是最简真分数．因此a＜3，b＜4，c＜6，6之内和6互质的只有1和5，若C=1，则变化后三个分数都不超过1，和不可能为6；当C=5，由于三个分数和为6，且通分后分母为12，因此分子和为72，有4（a+c）+3（b+c）+2（c+c）=72，c=5，4a+3b=17，a=（17-3b）÷4，由于各字母都是整数，只有当b=3时，17-3b才能被4整除，此时a=2，从而问题得解．
因为a＜3，b＜4，c＜6，
则c只能是1或5，
又因C=1，则变化后三个分数都不超过1，和不可能为6；
所以c是5；
因此：4（a+c）+3（b+c）+2（c+c）=72，
则4a+3b=17，a=（17-3b）÷4，
所以只有当b=3时，17-3b才能被4整除，此时a=2，
a+b+c=2+3+5=10．
故答案为：10．
点评：
本题考点： 最简分数．
考点点评： 解答此题的关键是：紧紧抓住最简分数的定义，先推论得出c的值，问题即可逐步得解．