解题思路：设
φ(x)＝f(x)−1−a(1−
1
x
)＝alnx−a(1−
1
x
)，(x＞0)
，由
φ′(x)＝
a
x
−
a
x
2
＝0
，得x=1，由此利用导数性质能证明f（x）-1≥a（1-[1/x]）．
（Ⅱ）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即
a＞
x−1
lnx
，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
（Ⅰ）证明：设φ(x)＝f(x)−1−a(1−
1
x)＝alnx−a(1−
1
x)，(x＞0)，
则φ′(x)＝
a
x−
a
x2＝0，解得x=1，…．（2分）
0＜x＜1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调减，
x＞1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调增，
∴φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，
∴f（x）-1≥a（1-[1/x]）．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即a＞
x−1
lnx，
另g(x)＝
x−1
lnx，(x＞1)，g′(x)＝
lnx−
x−1
x
(lnx)2…..（7分）
另h(x)＝lnx−
x−1
x，h′(x)＝
1
x−
1
x2＞0，
则h（x）单调递增所以h（x）＞h（1）=0…..（10分）
因为h（x）＞0，所以g'（x）＞0，
即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1，
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．