解题思路：（1）根据夹角相等，对应边成比例可证
（2）OP是OA，OB的比例中项，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．
（3）讨论相交，内切，内含与⊙B与⊙C的圆心距的关系．
（1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴[AO/PO＝
PO
BO]=2．（2分）
∵PO=CO，（1分）
∴[AO/CO＝
CO
BO]．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO．（1分）
（2）设OP=x，则OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中项，
∴x2=（x-1）（x+m）．（1分）
∴x=[m/m−1]．
即OP=[m/m−1]．（1分）
∴OB=[1/m−1]．（1分）
∵OP是OA，OB的比例中项，即[OA/OP＝
OP
OB]，
∵OP=OC，
∴[OA/OC＝
OC
OB]．（1分）
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO．（1分）
∴[AC/BC＝
OC
OB]．（1分）
∴
AC
BC＝
OC
OB＝
OP
OB＝m．
当点C与点P或点Q重合时，可得
AC
BC＝m，
∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．（1分）
（3）由（2）得，AC＞BC，且AC-BC=（m-1）BC（m＞1），AC+BC=（m+1）BC，
⊙B和⊙C的圆心距d=BC，
显然BC＜（m+1）BC，∴⊙B和⊙C的位置关系只可能相交、内切或内含．
当⊙B与⊙C相交时，（m-1）BC＜BC＜（m+1）BC，得0＜m＜2，
∵m＞1，
∴1＜m＜2；（1分）
当⊙B与⊙C内切时，（m-1）BC=BC，得m=2；（1分）
当⊙B与⊙C内含时，BC＜（m-1）BC，得m＞2．（1分）
点评：
本题考点： 圆与圆的位置关系；比例线段；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 考查相似三角形的判定和性质，掌握圆与圆的位置的各种情况．