如图,D是线段AB上的一点,BD=2AD=4,以BD为直径作半圆O,过点A作半圆O的切线,切点为E,过点B作BC⊥AE于

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  • 解题思路:①由切线的性质和解直角三角形得到∠A=30°;

    ②如图,连接DF.根据圆周角定理和平行线的判定推知AC∥DF,则平行线分线段成比例,即[BF/BC]=[BD/BA],由此可以求得BF=2CF;

    ③由平行线的性质得到DF⊥OE,则根据垂径定理和圆周角、弧、弦的关系进行解答;

    ④由圆周角、弧、弦的关系和旋切角定理求得内错角∠CEF=∠EFD,则EF∥AB.

    ①如图,连接OE.

    ∵AE是切线,

    ∴AE⊥OE,即∠AEO=90°.

    ∵BD=2AD=4,

    ∴OE=OD=2,

    ∴AO=AD+OD=2OE,

    ∴∠A=30°;

    故①正确;

    ②如图,连接DF.

    ∵BD是直径,∴DF⊥EF.

    又∵AC⊥BC,

    ∴AC∥DF,

    ∴[BF/BC]=[BD/BA],由比例的性质得到[BF/CF]=[BD/DA]=2,即BF=2CF.故②错误;

    ③如图,假设DF交OE于点G.

    ∵AC∥DF,AE⊥OE,

    ∴DF⊥OE,

    ∴DG=FG,

    DE=

    EF.

    故③正确;

    ④如图,连接DE.

    DE=

    EF.

    ∴∠EDF=∠EFD.

    又∵AC是切线,

    ∴∠CEF=∠EDF,

    ∴∠CEF=∠EFD,

    ∴EF∥AB.

    故④正确.

    综上所述,正确的结论是①③④.

    故答案是:①③④.

    点评:

    本题考点: 切线的性质.

    考点点评: 本题综合考查了切线的性质,圆周角定理以及垂径定理等知识点.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.