如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线L1、L2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥.

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  • 解题思路:(1)设天桥为PQ,则由A经过天桥走到B的最短路程为AQ+PQ+PB,由于PQ是定值,因此只需要考虑使AQ+PB最短.因为它们是分散的两条线段,故先将其中一条平移,如图平移AQ到A′P,此时连接A′B交l2于P,得桥址;

    (2)过B作AA′的垂线,垂足为C,则在△A′BC中,运用勾股定理求出A′B的长,则由A经过天桥走到B的最短路线的长:AQ+PQ+PB=A′B+PQ.

    (1)作法:①将点A竖直向下平移到点A′,使AA′=20,

    ②连接A′B,与l2交于点P,

    ③过点P作PQ⊥l1于Q,

    ④连接AQ、BP.

    则天桥建在PQ处能使由A经过天桥走到B的路程最短,如图;

    (2)∵AA′∥PQ,AA′=PQ,

    ∴四边形AA′PQ是平行四边形,

    ∴AQ=A′P,

    ∴AQ+PB=A′P+PB=A′B.

    过B作AA′的垂线,垂足为C.如图.

    在△A′BC中,∠C=90°,BC=60,A′C=AC-AA′=15+20+10-20=25,

    则A′B=

    BC2+A′C2=65,

    AQ+PQ+PB=A′B+PQ=65+20=85.

    故由A经过天桥走到B的最短路线的长85米.

    点评:

    本题考点: 轴对称-最短路线问题.

    考点点评: 本题主要考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的判定与性质,勾股定理,有一定难度,根据“两点之间,线段最短”找到桥址的位置是解题的关键.