Question

已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过

Answer 1

解题思路：（1）易得A，C两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式；

（2）分别以点O或点A为圆心，以OA长为半径画弧，可得3个可能的点P，作出OA的垂直平分线可得第4个点P；

（3）易得点O与点B关于直线l对称，那么连接BD，与l的交点即为点E，得到DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．

（1）设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得

0＝4k+b

4＝b，

解之得

k＝−1

b＝4，

∴直线l的函数表达式y=-x+4；

（2）P₁（0，4）、P₂（2，2）、P₃(4−2

2，2

2)、P₄(4+2

2，−2

2)；

（3）∵O与B关于直线l对称，

∴连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，

设DB所在直线为y=k₁x+b₁（k₁≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）

4＝4k1+b1

2＝b1，

解得

k1＝

1

2

b1＝2

∴直线DB为y＝

1

2x+2，

解方程组：

y＝−x+4

y＝

1

2x+2，得

x＝

4

3

y＝

8

3，

∴点E的坐标为(

4

3，

8

3)．

点评：

本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．