设a1,a2,...,as 是某向量组中的一个线性无关部分组
扩充步骤如下:
任取向量组中一个向量β
考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示
(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示
则放弃此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示
则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β
这个部分组为什么线性无关:
设 k1a1k2a2+...+ksas+kβ = 0
由于 β不能由a1,a2,...,as线性表示,所以有 k =0
所以 k1a1k2a2+...+ksas = 0.
再由 a1,a2,...,as 线性无关,k1=k2=...=ks=0
故 a1,a2,...,as,β 线性无关.
如此进行下去,遍历整个原向量组,得一扩充的部分组:
a1,a2,...,ar 满足:
1) 线性无关
2) 原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示
故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.