设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得
k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0
则
(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0
因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关,
所以k1+k5=0,k1+k2=0,k2+k3=0,k3+k4=0,k4+k5=0
解得k1=k2=k3=k4=k5=0
所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0,
所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关.