(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)几何意义,是位置向量(x,y)与梯度(∂f/∂x, ∂f/∂y)这两个向量的内积.
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是laplace算符,看起来奇怪,还有个名字更加奇怪了,其实就是梯度的梯度,梯度就是增长最快的方向,其实就是个向量,不要想复杂了,那就窘了.
∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy其实就是求和,有多少个东西要被加起来?有一个单位圆面那么多的元素啊.那我就一个圆,一个圆加,从半径是1的一直到半径是0的可以吧.
对于半径为r的小圆周,(x,y)向量与圆周垂直,所以∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)本质就是∫,沿着半径r的圆周积分.表示两个向量的内积,一个是法向量n=(x,y),另一个是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理,对于任何向量函数G,∫=∫∫梯度算符内积作用在G,而梯度作用两次的结果恰好是laplace算符,所以∫＝∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫e^(-x²-y²)dxdy,然后对每个半径r的小圆周,你把所有的结果加起来,就是∫∫∫re^(-x²-y²)dxdydr,就是∫∫∫re^(-r²)drdxdy,就是∫∫ [∫re^(-r²)dr] dxdy, 其中[∫re^(-r²)dr]=[(1/2)∫e^(-r²)(dr²)]=(1/2)[∫e^(-t)dt](从0到1)=1/2e,然后∫∫ (1/e) dxdy= 3.14/2e