紧急!一个参数题目,已知方程:y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos+9=0证明:无论@如
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  • 已知方程:y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos@+9=0

    证明:无论@如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线,并且求出椭圆的普通方程.

    证明:

    因为sin²@+cos²@=1

    所以y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos@+9

    =y²-6ysin@-2x+8cos@+9-9cos²@

    =y²-6ysin@-2x+8cos@+9sin²@+9cos²@-9cos²@

    =y²-6ysin@-2x+8cos@+9sin²@

    =y²-6ysin@-2x+9sin²@+8cos@

    =(y-3sin@)²-2x+8cos@

    那么方程y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos@+9=0

    就是(y-3sin@)²-2x+8cos@=0

    即x=1/2((y-3sin@)²+4cos@

    它表示一条以(3sin@,4cos@)为顶点,以y=3sin@为对称轴,开口向右的抛物线

    它的顶点(3sin@,4cos@)设为(x,y)

    则有x/3=sin@,y/4=cos@

    因为sin²@+cos²@=1

    所以(x/3)²+(y/4)²=1

    即x²/9+y²/16=1

    所以此抛物线顶点是一个焦点在Y轴上的椭圆

    椭圆的普通方程是x²/9+y²/16=1

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