由A^2=A,得A^2-A=0,(A-E)A=0.
两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,故由(A-E)A=0得,R(A-E)+R(A)≤n.两矩阵之和的秩不小于两矩阵秩之和,故由(E-A)+A=E,得n=R(E)≤R(E-A)+R(A),R(E-A)=R(A-E),n≤R(A-E)+R(A),
故R(A-E)+R(A)=n.
设a为n阶矩阵,证明：a*a=a可推出r（a）+r（a-e）= n
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