Question

如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转，使点A与点C

Answer 1

解题思路：（1）根据正方形的性质得到∠ABC=90°，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合时，旋转角为90°；

（2）连接PG，证明△BPG为等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；

（3）猜想△PGC为直角三角形，理由：由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判断△PGC为直角三角形；

（4）由（3）得到∠PGC为直角，又（2）得到△BPG为等腰直角三角形，即可求出∠BGC的度数，由旋转可知∠APB等于∠BGC，即可得到∠APB的度数．

（1）旋转后的△BCG如图所示，

∵正方形ABCD，

∴对应边AB与BC的夹角∠ABC=90°，

则旋转角为90°；

（2）连接PG，由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，

∴△BPG为等腰直角三角形，

又BP=BG=2，

∴PG=

BP2+BG2=2

2；

（3）△PGC为直角三角形，理由如下：

证明：由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，

由（2）可知PG=2

2，

∵PG²+CG²=（2

2）²+1²=9，PC²=9，

∴PG²+CG²=PC²，

∴△PGC为直角三角形；

（4）由旋转可知∠APB=∠BGC，

由（2）得到△BPG为等腰直角三角形，所以∠PGB=45°，

由（3）得到△PGC为直角三角形，所以∠PGC=90°，

则∠APB=∠BGC=∠PGB+∠PGC=90°+45°=135°．

点评：

本题考点： 正方形的性质；旋转的性质．

考点点评： 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用．解本题的关键是由旋转角为90°，对应边相等，得出等腰直角三角形．