解题思路：①先计算P点到星球表面的最短距离为12ct1，根据直角三角形的知识可得R(R+12ct1)＝sinθ2，化简即可解得X星球的半径R．②根据在X星球上以v0初速度竖直上抛和在地球上以v0初速度竖直上抛时的特点，可计算出该星球的表面重力加速度g0．由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力GMmR2＝mg0，解得该星球的质量M＝R2g0G，而该星球的体积为V=43πR3，根据密度的定义ρ=MV，代入数据计算即可．③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，根据重力提供向心力mg0＝mv2R，得v＝Rg0，代入数据化简即可解得v．④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T，根据公式T＝2πRv化简即可．
①飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t1后收到返回来的信号，则P点到星球表面的最短距离为：[1/2ct1．
根据几何图形，由直角三角形的知识可得
R
(R+
1
2ct1)＝sin
θ
2]
即：(R+
1
2ct1)sin
θ
2=R
解得：R＝
ct1sin
θ
2
2(1−sin
θ
2)
②根据竖直上抛的特点：
在X星球上以v0初速度竖直上抛时，t2＝
2v0
g0
在地球上以v0初速度竖直上抛时，t＝
2v0
g
∴g0＝
t
t2g，
又由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力G
Mm
R2＝mg0
所以M＝
R2g0
G，
而该星球的体积为V=[4/3πR3
故ρ=
M
V]=
3g0
4πGR=
3tg(1−sin
θ
2)
2πGct1t2sin
θ
2
③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，此时重力等于万有引力，
根据万有引力提供向心力mg0＝m
v2
R
∴v＝
Rg0
把R和g0＝
t
t2g的值代入得：
v＝
gctt1sin
θ
2
2t2(1−sin
θ
2)
④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T
T＝
2πR
v＝π
2ct1t2sin
θ
2
gt(1−sin
θ
2)
答：①X星球的半径R为
ct1sin
θ
2
2(1−sin
θ
2)；
②X星球的平均密度ρ为
3tg(1−sin
θ
2)
2πGct1t2sin
θ
2
③X星球的第一宇宙速度V为
gctt1sin
θ
2
2t2(1−sin
θ
2)；
④在X星球发射的卫星的最小周期T为π
2ct1t2sin
θ
2
gt(1−sin
θ
2)．
点评：
本题考点： 万有引力定律及其应用；线速度、角速度和周期、转速；向心力．
考点点评： 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．