解题思路：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，进而可得函数的极值与最值；
（Ⅱ）求导函数g′（x）=
−a
x
2
+4ax−4
4a
x
2
(a＞0)
，构造函数h（x）=-ax2+4ax-4，由题意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，从而可求正实数a的取值范围．
（Ⅰ）当a＝
1
2时，f′(x)＝
x−2
x2（x＞0），
∴当x∈[1，2]时，f′（x）＜0；当x∈（2，e]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，在（2，e]上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上有唯一极小值点，
故f（x）min=f（x）极小值=f（2）=ln2-1．
又∵f（1）=0，f（e）=[2−e/e＜0．
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（x）max=f（1）=0．
综上可知，函数f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2-1．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-
1
4]x，
∴g′（x）=
−ax2+4ax−4
4ax2(a＞0)，
设h（x）=-ax2+4ax-4，由题意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，
因为a＞0，h（x）图象的对称轴为x=2，
所以只需h（1）=3a-4≥0，所以a≥[4/3]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．