解题思路：（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH=EF，而EF=[1/2]AC，EH=[1/2]BD，故应有AC=BD．
（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得S▱EFGH=[1/2]S四边形ABCD=1
（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；
若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH=EF，而EF=[1/2]AC，EH=[1/2]BD，故应有AC=BD．
（2）S△AEH+S△CFG=[1/4]S四边形ABCD．
证明：在△ABD中，
∵EH=[1/2]BD，
∴△AEH∽△ABD．
∴
S△AEH
S△ABD＝(
EH
BD)2＝
1
4．
即S△AEH=[1/4]S△ABD
同理可证：S△CFG=[1/4]S△CBD
∴S△AEH+S△CFG=[1/4]（S△ABD+S△CBD）=[1/4]S四边形ABCD．
（3）由（2）可知S△AEH+S△CFG=[1/4]（S△ABD+S△CBD）=[1/4]S四边形ABCD，
同理可得S△BEF+S△DHG=[1/4]（S△ABC+S△CDA）=[1/4]S四边形ABCD，
故S▱EFGH=[1/2]S四边形ABCD=1．
点评：
本题考点： 正方形的判定；三角形中位线定理；矩形的判定；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质，相似三角形的性质．