Question

关于函数对称求证周期若定义在R上的函数f(x)的图像关于点A(2,1)对称,又关于直线x=5对称,求证：f(x)是周期为

Answer 1

f(x)的图像关于点A(2,1)对称,可得：f(2-x)+f(2+x)=2 （1）

f(x)关于直线x=5对称,可得：f(5+x)=f(5-x) （2）

以上就是两个基本公式,接下来,要证f(x)=f(x+12)即可.

由性质（2）：f(x+12)＝f[5+(7+x)]=f[5-(7+x)]=f(-2-x)

再由性质（1）：f(-2-x)=f[2-(x+4)]=2-f[2+(x+4)]=2-f(6+x)

再由性质（2）：2-f(6+x)=2-f[5+(1+x)]=2-f[5-(1+x)]=2-f(4-x)

再由性质（1）：2-f(4-x)=2-f[2-(x-2)]=2-{2-f[2+(x-2)]}=f(x)

命题得证.