解题思路:(I)根据数据的概率之和为1,求出第四组数据的频率,再根据小矩形的高=[频率/组距]求小矩形的高,补全直方图;
(II)众数为第二组的中间值;从左数前两组数据的频率和为0.4,设中位数为85+x,则x×0.06=0.1,求出x,可得中位数;利用平均数为各个小矩形的中间值乘以对应小矩形的面积和,求平均数;
(III)分别求出成绩良好与优秀的学生数,根据抽取比例计算得抽取的5人中有3人成绩优秀,2人成绩良好,
利用组合求出从5人中选2人的基本事件个数和至少有一人是“优秀”的基本事件个数,根据古典概型概率公式计算.
(Ⅰ)第四组的频率为1-0.01×5-0.07×5-0.06×5-0.02×5=0.2,
∴第四组小矩形的高为[0.2/5]=0.04,
∴频率分布直方图如图:
(Ⅱ)众数为第二组的中间值,∴众数为82.5;
∵从左数前两组数据的频率和为0.4,设中位数为85+x,则x×0.06=0.1,
∴x=1[2/3],∴中位数为86.7;
平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25.
(III)成绩优秀的学生数为40×(0.3+0.2+0.1)=24,
∴成绩良好的学生数为16,
用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中抽取5人,抽取的比例为[5/40]=[1/8],
∴这5人中有3人成绩优秀,2人成绩良好,
从5人中选2人的选法有
C25=10种方法,
其中至少有一人是“优秀”的选法有
C23+
C13
×C12=9种,
∴至少有一人是“优秀”的概率是[9/10].
点评:
本题考点: 频率分布直方图;众数、中位数、平均数.
考点点评: 本题考查了频率分布直方图,古典概型的概率计算,考查了众数、中位数、平均数的求法,综合性强.