Question

已知函数f（x）=x 2 -bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列 { 1 f(n

Answer 1

解；∵函数f（x）=x ²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，

由f（x）=x ²-bx求导得：f ^′（x）=2x-b，

由导函数得几何含义得：f ^′（1）=2-b=3⇒b=-1，∴f（x）=x ²+x

所以f（n）=n（n+1），∴数列 {

1

f(n) } 的通项为

1

f(n) =

1

n(n+1) =

1

n -

1

n+1 ，

所以

1

f(n) 的前n项的和即为T _n，

则利用裂项相消法可以得到： T n =(1-

1

2 )+(

1

2 -

1

3 )+(

1

3 +

1

4 )+…+(

1

n -

1

n+1 ) =1-

1

n+1

所以数列的前2010项的和为：T ₂₀₁₀=1-

1

2011 =

2010

2011 ．

故答案选：B